Рух. Теплота Китайгородський Олександр Ісаакович

Похила площина

Похила площина

Крутий підйом важче подолати, ніж пологий. Легше вкотити тіло на висоту по похилій площинініж піднімати його по вертикалі. Чому так і наскільки легше? Закон складання сил дозволяє нам розібратися у цих питаннях.

На рис. 12 показаний візок на колесах, який натягом мотузки утримується на похилій площині. Крім тяги на візок діють ще дві сили – вага та сила реакції опори, що діє завжди за нормаллю до поверхні, незалежно від того, горизонтальна поверхня опори або похила.

Як мовилося раніше, якщо тіло тисне на опору, то опора протидіє тиску чи, як кажуть, створює силу реакції.

Нас цікавить, якою мірою тягнути візок вгору легше по похилій площині, ніж піднімати вертикально.

Розкладемо сили так, щоб одна була спрямована вздовж, а інша перпендикулярно до поверхні, по якій рухається тіло. Для того щоб тіло лежало на похилій площині, сила натягу мотузки повинна врівноважувати лише поздовжню складову. Що ж до другої складової, вона врівноважується реакцією опори.

Знайти цікаву для нас силу натягу каната Tможна або геометричною побудовою або за допомогою тригонометрії. Геометрична побудова полягає у проведенні з кінця вектора ваги Pперпендикуляр до площині.

На малюнку можна знайти два подібні трикутники. Відношення довжини похилої площини lдо висоти hдорівнює відношенню відповідних сторін у трикутнику сил. Отже,

Чим більша полога похильна площина ( h/lневелико), тим, зрозуміло, легше тягнути тіло нагору.

А тепер для тих, хто знає тригонометрію: тому що кут між поперечною складовою ваги та вектором ваги дорівнює куту? похилій площині (це кути із взаємно перпендикулярними сторонами), то

Отже, вкотити візок похилою площиною з кутом? в sin? раз легше, ніж підняти її вертикально.

Корисно пам'ятати значення тригонометричних функцій для кутів 30, 45 та 60°. Знаючи ці цифри для синуса (sin 30° = 1/2; sin 45° = sqrt(2)/2;*5 sin 60° = sqrt(3)/2), ми отримаємо гарне уявлення про виграш у силі під час руху по похилої поверхні.

З формул видно, що при куті похилої площини в 30 ° наші зусилля становитимуть половину ваги: T = P· (1/2). При кутах 45° та 60° доведеться тягнути канат із силами, рівними приблизно 0,7 та 0,9 від ваги візка. Як бачимо, такі круті похилі площини мало полегшують справу.

Динаміка є одним із важливих розділів фізики, який вивчає причини руху тіл у просторі. У статті розглянемо з погляду теорії одне з типових завдань динаміки — рух тіла по похилій площині, і навіть наведемо приклади рішень деяких практичних проблем.

Основна формула динаміки

Перш ніж переходити до вивчення фізики руху тіла площиною похилої, наведемо необхідні теоретичні відомості для вирішення цього завдання.

У XVII Ісаак Ньютон завдяки практичним спостереженням за рухом макроскопічних оточуючих тіл вивів три закони, які нині його прізвище. На цих законах ґрунтується вся класична механіка. Нас цікавить у цій статті лише другий закон. Його математичний вигляд наведено нижче:

Формула говорить про те, що дія зовнішньої сили F додасть прискорення тілу масою m. Цей простий вираз будемо далі використовувати для розв'язання задач руху тіла по похилій площині.

Зазначимо, що сила і прискорення — це векторні величини, спрямовані в ту саму сторону. Крім того, сила - це адитивна характеристика, тобто в наведеній формулі F можна розглядати як результуючий вплив на тіло.

Похила площина та сили, що діють на тіло, що знаходиться на ній

Ключовим моментом, від якого залежить успіх розв'язання задач руху тіла по площині похилої, є визначення сил, що діють на тіло. Під визначенням сил розуміють знання їх модулів та напрямів дії.

Нижче наведено малюнок, де показано, що тіло (автомобіль) перебуває у спокої на нахиленій під кутом до горизонту площині. Які сили на нього діють?

Список нижче перелічує ці сили:

• тяжкості;
• реакції опори;
• тертя;
• натягу нитки (якщо є).

Сила тяжіння

Насамперед це сила тяжіння (F g). Вона спрямована вертикально донизу. Оскільки тіло має можливість рухатися лише вздовж поверхні площини, то при розв'язанні задач силу тяжкості розкладають на дві перпендикулярні взаємно складові. Одна зі складових спрямована вздовж площини, інша перпендикулярна їй. Тільки перша з них призводить до появи у тіла прискорення і, по суті, є єдиним рушійним фактором для тіла, що розглядається. Друга складова зумовлює виникнення сили реакції опори.

Реакція опори

Другою дією на тіло силою є реакція опори (N). Причина її появи пов'язана із третім законом Ньютона. Величина N показує, з якою силою площина впливає тіло. Вона спрямована вгору перпендикулярно площині похилої. Якби тіло знаходилося на горизонтальній поверхні, то N дорівнювала б його вазі. У даному випадку N дорівнює лише другий складової, отриманої при розкладанні сили тяжіння (див. абзац вище).

Реакція опори не має прямого впливу характер руху тіла, оскільки вона перпендикулярна площині нахилу. Проте вона зумовлює появу тертя між тілом та поверхнею площини.

Сила тертя

Третьою силою, яку слід враховувати для дослідження руху тіла по похилій площині, є тертя (F f). Фізична природа тертя непроста. Її поява пов'язана з мікроскопічними взаємодіями дотичних тіл, що мають неоднорідні поверхні контакту. Виділяють три види цієї сили:

• спокою;
• ковзання;
• кочення.

Тертя спокою та ковзання описуються однією і тією самою формулою:

де µ - це безрозмірний коефіцієнт, значення якого визначається матеріалами тертьових тіл. Так, при терті ковзання дерева об дерево µ = 0,4, а льоду об лід — 0,03. Коефіцієнт для тертя спокою завжди більше для ковзання.

Тертя кочення описується за відмінною від попередньої формули. Вона має вигляд:

Тут r – радіус колеса, f – коефіцієнт, що має розмірність зворотної довжини. Ця сила тертя, як правило, набагато менша за попередні. Зауважимо, що її значення впливає радіус колеса.

Сила F f , хоч би якого типу вона була, завжди спрямована проти руху тіла, тобто F f прагне зупинити тіло.

Натяг нитки

При розв'язанні задач руху тіла за похилою площиною ця сила не завжди присутня. Її поява визначається тим, що тіло, що знаходиться на похилій площині, пов'язане за допомогою нерозтяжної нитки з іншим тілом. Часто друге тіло звисає на нитці через блок поза площині.

На предмет, що знаходиться на площині, сила натягу нитки впливає або прискорюючи його, або уповільнюючи. Усе залежить від модулів сил, які у фізичної системі.

Поява цієї сили у завданні значно ускладнює процес розв'язання, оскільки доводиться розглядати одночасно рух двох тіл (на площині та звисаючого).

Завдання визначення критичного кута

Тепер настав час застосувати описану теорію для вирішення реальних завдань руху по похилій площині тіла.

Припустимо, що брус із дерева має масу 2 кг. Він розташований на дерев'яній площині. Слід визначити, за якого критичного вугілля нахилу площини брус почне по ній ковзати.

Ковзання бруса настане тільки тоді, коли сумарна діюча вниз вздовж площини сила на нього виявиться більше нуля. Таким чином, щоб вирішити це завдання, достатньо визначити результуючу силу і знайти кут, при якому вона стане більшою за нуль. Відповідно до умови завдання на брус будуть уздовж площини діяти тільки дві сили:

• складова сили тяжіння F g1;
• тертя спокою F f .

Щоб почалося ковзання тіла, має виконуватися умова:

Зазначимо, що якщо складова сили тяжкості перевищить тертя спокою, то вона також буде більшою за силу тертя ковзання, тобто рух, що почався, триватиме з постійним прискоренням.

Малюнок нижче показує напрямки всіх сил, що діють.

Позначимо критичний кут символом θ. Нескладно показати, що сили F g1 і F f дорівнюватимуть:

F g1 = m x g x sin (θ);

F f = µ × m × g × cos(θ).

Тут m × g – це вага тіла, µ – коефіцієнт сили тертя спокою для пари матеріалів дерево-дерево. З відповідної таблиці коефіцієнтів можна визначити, що він дорівнює 0,7.

Підставляємо знайдені величини в нерівність, отримуємо:

m × g × sin(θ) ≥ µ × m × g × cos(θ).

Перетворюючи цю рівність, приходимо до умови руху тіла:

tg(θ) ≥ µ =>

θ ≥ arctg(µ).

Ми отримали дуже цікавий результат. Виявляється, значення критичного кута не залежить від маси тіла на похилій площині, а однозначно визначається коефіцієнтом тертя спокою µ. Підставляючи його значення в нерівність, отримаємо величину критичного кута:

θ ≥ arctg(0,7) ≈ 35 o .

Завдання визначення прискорення під час руху по похилій площині тіла

Тепер вирішимо дещо інше завдання. Нехай на скляній похилій площині знаходиться брус із дерева. Площина до горизонту нахилена під кутом 45 o . Слід визначити, з яким прискоренням рухатиметься тіло, якщо його маса дорівнює 1 кг.

Запишемо головне рівняння динаміки цього випадку. Оскільки сила F g1 буде спрямована вздовж руху, а F f проти нього, то рівняння набуде вигляду:

F g1 - F f = m × a.

Підставляємо отримані у попередньому завданні формули для сил F g1 і F f маємо:

m × g × sin(θ) — µ × m × g × cos(θ) = m × a.

Звідки одержуємо формулу для прискорення:

a = g (sin(θ) - µ × cos(θ)).

Знову ми отримали формулу, де немає маси тіла. Цей факт означає, що бруски будь-якої маси будуть зісковзувати за один і той же час по похилій площині.

Враховуючи, що коефіцієнт µ для матеріалів, що труться, дерево-скло дорівнює 0,2, підставимо всі параметри в рівність, отримаємо відповідь:

Таким чином, методика розв'язання задач з похилою площиною полягає у визначенні результуючої сили, що діє на тіло, та у подальшому застосуванні другого закону Ньютона.

Фізика: рух тіла по похилій площині. Приклади вирішення та завдання – всі цікаві факти та досягнення науки та освіти на сайт

На похилій площині завдовжки 13 м і висотою 5 м лежить вантаж масою 26 кг. Коефіцієнт тертя дорівнює 0,5. Яку силу треба прикласти до вантажу вздовж площини, щоб тягти вантаж? щоб стягнути вантаж
РІШЕННЯ

Яку силу треба прикласти для підйому вагонетки масою 600 кг по естакаді з кутом нахилу 20°, якщо коефіцієнт опору руху дорівнює 0,05
РІШЕННЯ

При проведенні лабораторної роботи були отримані такі дані: довжина похилої площини 1 м, висота 20 см, маса дерев'яного бруска 200 г, сила тяги під час руху бруска вгору 1 Н. Знайти коефіцієнт тертя
РІШЕННЯ

На похилій площині довжиною 50 см і висотою 10 см лежить брусок масою 2 кг. За допомогою динамометра, розташованого паралельно площині, брусок спочатку втягнули вгору похилою площиною, а потім стягнули вниз. Знайти різницю показань динамометра
РІШЕННЯ

Щоб утримувати візок на похилій площині з кутом нахилу α, треба докласти силу F1, спрямовану вгору вздовж похилої площини, а щоб піднімати вгору, треба докласти силу F2. Знайти коефіцієнт опору
РІШЕННЯ

Похила площина розташована під кутом = 30° до горизонту. При яких значеннях коефіцієнта тертя μ тягти вантаж важче, ніж піднімати його вертикально
РІШЕННЯ

На похилій площині довжиною 5 м і висотою 3 м знаходиться вантаж масою 50 кг. Яку силу, спрямовану вздовж площини, треба докласти, щоб утримати цей вантаж? тягнути рівномірно вгору? тягнути із прискоренням 1 м/с2? Коефіцієнт тертя 0,2
РІШЕННЯ

Автомобіль масою 4 т рухається у гору із прискоренням 0,2 м/с2. Знайти силу тяги, якщо ухил дорівнює 0,02 та коефіцієнт опору 0,04
РІШЕННЯ

Потяг масою 3000 т рухається вниз під ухил, що дорівнює 0,003. Коефіцієнт опору руху дорівнює 0,008. З яким прискоренням рухається поїзд, якщо сила тяги локомотива дорівнює: а) 300 кН; б) 150 кН; в) 90 кН
РІШЕННЯ

Мотоцикл масою 300 кг розпочав рух зі стану спокою на горизонтальній ділянці дороги. Потім дорога пішла під ухил, що дорівнює 0,02. Яку швидкість придбав мотоцикл через 10 секунд після початку руху, якщо горизонтальну ділянку дороги він проїхав за половину цього часу? Сила тяги та коефіцієнт опору руху по всьому шляху постійні і відповідно рівні 180 Н і 0,04
РІШЕННЯ

Брусок масою 2 кг знаходиться на похилій площині з кутом нахилу 30 °. Яку силу, спрямовану горизонтально (рис. 39), треба докласти до бруска, щоб він рухався рівномірно похилою площиною? Коефіцієнт тертя бруска про похилу площину дорівнює 0,3
РІШЕННЯ

Помістіть на лінійці невеликий предмет (гумку, монету тощо). Поступово піднімайте кінець лінійки, доки предмет не почне ковзати. Виміряйте висоту h та основу b отриманої похилої площини та обчисліть коефіцієнт тертя
РІШЕННЯ

З яким прискоренням ковзає брусок по похилій площині з кутом нахилу α = 30° при коефіцієнті тертя μ = 0,2
РІШЕННЯ

У момент початку вільного падіння першого тіла з деякою висоти h друге тіло почало ковзати без тертя з похилої площини, що має ту ж висоту h і довжину l = nh. Порівняти кінцеві швидкості тіл біля основи похилої площини та час їх руху.

Незважаючи на інші умови руху принципово рішення задачі 8 нічим не відрізняється від рішення задачі 7. Відмінність полягає лише в тому, що в задачі 8 сили, що діють на тіло, не лежать вздовж однієї прямої, тому проекції необхідно взяти на дві осі.

Завдання 8.Кінь везе сани масою 230 кг, діючи на них із силою 250 Н. Яку відстань пройдуть сани, поки досягнуть швидкості 5,5 м/с, рухаючись зі стану спокою. Коефіцієнт тертя ковзання саней сніг дорівнює 0,1, а оглоблі розташовані під кутом 20° до горизонту.

На сани діють чотири сили: сила тяги (натягу), спрямовану під кутом 20° до горизонту; сила тяжіння, спрямована вертикально донизу (завжди); сила реакції опори, спрямована перпендикулярно опорі від неї, тобто вертикально вгору (у даному завданні); сила тертя ковзання, спрямовану проти руху. Оскільки сани рухатимуться поступально, всі прикладені сили можна паралельно перенести в одну точку – в центр масрухомого тіла (санів). Через цю саму точку проведемо і осі координат (рис. 8).

На підставі другого закону Ньютона запишемо рівняння руху:

.

Направимо вісь Oxгоризонтально вздовж напрямку руху (див. рис. 8), а вісь Ой- Вертикально вгору. Візьмемо проекції векторів, що входять у рівняння, на координатні осі, додамо вираз для сили тертя ковзання та отримаємо систему рівнянь:

Розв'яжемо систему рівнянь. (Схема розв'язання системи рівнянь, подібних до системи, зазвичай однакова: з другого рівняння виражають силу реакції опори і підставляють її в третє рівняння, а потім вираз для сили тертя підставлять у перше рівняння.) В результаті отримаємо:

Перегрупуємо складові у формулі та розділимо її праву та ліву частини на масу:

.

Оскільки прискорення не залежить від часу, виберемо формулу кінематики рівноприскореного руху, що містить швидкість, прискорення та переміщення:

.

Враховуючи, що початкова швидкість дорівнює нулю, а скалярний добуток однаково спрямованих векторів дорівнює добутку їх модулів, підставимо прискорення та виразимо модуль переміщення:

;

Отримане значення є відповідь завдання, оскільки при прямолінійному русі пройдений шлях і модуль переміщення збігаються.

Відповідь: сани пройдуть 195м.

1. Рух похилою площиною

Опис руху невеликих тіл по похилій площині принципово не відрізняється від опису руху тіл по вертикалі і по горизонталі, тому при розв'язанні задач на цей вид руху, як і задачах 7, 8, також необхідно записати рівняння руху і взяти проекції векторів на координатні осі. Розбираючи розв'язання задачі 9, необхідно звернути увагу на схожість підходу до опису різних видів руху та на нюанси, що відрізняють розв'язання цього типу задач від розв'язання задач, розглянутих вище.

Завдання 9.Лижник зісковзує з довгою рівною засніженою гірки, кут нахилу до горизонту якої становить 30°, а довжина дорівнює 140 м. Скільки часу триватиме спуск, якщо коефіцієнт тертя ковзання лиж об рихлий сніг дорівнює 0,21?

Рух лижника по наклонної площині відбувається під дією трьох сил: сили тяжіння, спрямованої вертикально вниз; сили реакції опори, спрямованої перпендикулярно до опори; сили тертя ковзання, спрямованої проти руху тіла. Нехтуючи розмірами лижника в порівнянні з довжиною гірки, на підставі другого закону Ньютона запишемо рівняння рухулижника:

.

Виберемо вісь Oxвниз уздовж похилої площини (рис. 9), а вісь Ой- Перпендикулярно похилій площині вгору. Візьмемо проекції векторів рівняння на вибрані координатні осі з урахуванням того, що прискорення спрямоване вздовж похилої площини вниз, і додамо до них вираз, що визначає силу тертя ковзання. Отримаємо систему рівнянь:

Розв'яжемо систему рівнянь щодо прискорення. Для цього з другого рівняння системи виразимо силу реакції опори і підставимо отриману формулу третє рівняння, а вираз для сили тертя - перше. Після скорочення маси маємо формулу:

.

Прискорення не залежить від часу, отже, можна скористатися формулою кінематики рівноприскореного руху, що містить переміщення, прискорення та час:

.

З урахуванням того, що початкова швидкість лижника дорівнює нулю, а модуль переміщення дорівнює довжині гірки, виразимо з формули час і, підставляючи в отриману прискорення формулу, отримаємо:

;

Відповідь: час спуску з гори 9,5 с.

На поверхні Землі сила тяжіння (гравітація) Постійна і дорівнює добутку маси падаючого тіла на прискорення вільного падіння: F g = mg

Слід зауважити, що прискорення вільного падіння величина стала: g=9,8 м/с 2 і спрямована до центру Землі. Тому можна сказати, що тіла з різною масою будуть падати на Землю однаково швидко. Як же так? Якщо кинути з однакової висоти шматочок вати та цеглу, то останній проведе свій шлях до землі швидше. Не забувайте про опір повітря! Для вати воно буде суттєвим, оскільки її густина дуже мала. У безповітряному просторі цегла та вата впадуть одночасно.

Куля рухається по похилій площині завдовжки 10 метрів, кут нахилу площини 30 °. Якою буде швидкість кулі в кінці площини?

На кулю діє лише сила тяжіння F g , спрямована вниз перпендикулярно до основи площини. Під дією цієї сили (складової, спрямованої вздовж поверхні площини) куля рухатиметься. Чому дорівнюватиме складова сили тяжіння, що діє вздовж похилої площини?

Для визначення складової необхідно знати кут між вектором сили F g та похилою площиною.

Визначити кут досить просто:

• сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 °;
• кут між вектором сили F g і основою похилої площини дорівнює 90°;
• кут між похилою площиною та її основою дорівнює α

Виходячи з вищесказаного, шуканий кут дорівнюватиме: 180° - 90° - α = 90° - α

З тригонометрії:

F g накл = F g · cos (90 ° -α)

Sinα = cos(90°-α)

F g накл = F g · sinα

Це дійсно так:

• при α=90° (вертикальна площина) F g накл = F g
• при α=0° (горизонтальна площина) F g накл = 0

Визначимо прискорення кулі із відомої формули:

F g · sinα = m · a

A = F g · sinα/m

A = m·g·sinα/m = g·sinα

Прискорення кулі вздовж похилої площини залежить від маси кулі, лише від кута нахилу площини.

Визначаємо швидкість кулі наприкінці площини:

V 1 2 - V 0 2 = 2·a·s

(V 0 =0) - куля починає рух з місця

V 1 2 = √2·a·s

V = 2·g·sinα·S = √2·9,8·0,5·10 = √98 = 10 м/с

Зверніть увагу на формулу! Швидкість тіла в кінці похилої площини залежатиме лише від кута нахилу площини та її довжини.

У нашому випадку швидкість 10 м/с наприкінці площини матиме і більярдну кулю, і легковий автомобіль, і самоскид, і школяр на санчатах. Звичайно, тертя ми не враховуємо.