Допомога по Теле2, тарифи, питання

У статті розглянемо розв'язання нерівностей. Розкажемо доступно про те, як будуватися розв'язання нерівностей, на зрозумілих прикладах!

Перед тим, як розглянути розв'язання нерівностей на прикладах, розберемося з основними поняттями.

Загальні відомості про нерівності

Нерівністюназивається вираз, у якому функції з'єднуються знаками відношення >, . Нерівності бувають як числові, і буквені.
Нерівності з двома знаками відношення називаються подвійними, з трьома - потрійними і т.д. Наприклад:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Нерівності, що містять знак > або або несуворі.
Розв'язанням нерівностіє будь-яке значення зміною, у якому це нерівність буде правильно.
"Розв'язати нерівність"означає, що треба знайти безліч всіх його рішень. Існують різні методи розв'язання нерівностей. Для розв'язання нерівностікористуються числовою прямою, яка нескінченна. Наприклад, вирішенням нерівності x > 3 є проміжок від 3 до +, причому число 3 входить у цей проміжок, тому точка на прямий позначається порожнім кружком, т.к. нерівність сувора.
+
Відповідь буде такою: x (3; +).
Значення х=3 не входить до множини рішень, тому дужка кругла. Знак нескінченності завжди виділяється круглою дужкою. Знак означає "належність".
Розглянемо як вирішувати нерівності на іншому прикладі зі знаком:
x 2
-+
Значення х=2 входить до множини рішень, тому дужка квадратна і точка на прямій позначається зафарбованим кружком.
Відповідь буде такою: x . У такому прикладі така дужка використовується.

Запишемо відповідь: х ≥ -0,5 через проміжки:

х ∈ [-0,5; +∞)

Читається: ікс належить проміжку від мінус 0,5, включаючи,до плюс нескінченності.

Нескінченність не може включатися ніколи. Не число, це символ. Тому в подібних записах нескінченність завжди є сусідами з круглою дужкою.

Така форма запису зручна для складних відповідей, які з кількох проміжків. Але – саме для остаточних відповідей. У проміжних результатах, де передбачається подальше рішення, краще використовувати звичайну форму у вигляді простої нерівності. Ми з цим у відповідних темах розберемося.

Популярні завдання із нерівностями.

Самі собою лінійні нерівності прості. Тому, часто, завдання ускладнюються. Так, щоби подумати треба було. Це, якщо з незвички, не дуже приємно. Але корисно. Покажу приклади таких завдань. Не для того щоб ви їх вивчили, це зайве. А щоб не боялися при зустрічі з подібними прикладами. Трохи подумати – і все просто!)

1. Знайдіть будь-які два рішення нерівності 3х - 3< 0

Якщо не дуже зрозуміло, що робити, згадуємо головне правило математики:

Не знаєш, що потрібно – роби, що можна!)

х < 1

І що? Та нічого особливого. Що нас просять? Нас просять знайти два конкретні числа, які є рішенням нерівності. Тобто. підходять під відповідь. Два будь-якихчисла. Власне, це і бентежить.) Підходить парочка 0 та 0,5. Парочка -3 та -8. Так цих парачок безліч! Яка відповідь правильна?!

Відповідаю: все! Будь-яка парочка чисел, кожне з яких менше одиниці, буде правильною відповіддю.Пишіть яку хочете. Їдемо далі.

2. Вирішити нерівність:

4х - 3 ≠ 0

Завдання у вигляді зустрічаються рідко. Але, як допоміжні нерівності, при знаходженні ОДЗ, наприклад, або при знаходженні області визначення функції, зустрічаються часто-густо. Таку лінійну нерівність можна вирішувати як звичайне лінійне рівняння. Тільки скрізь, крім знака "=" ( одно) ставити знак " ≠ " (не дорівнює). Так до відповіді й підійдете зі знаком нерівності:

х ≠ 0,75

У більш складних прикладах, краще чинити по-іншому. Зробити з нерівності рівність. Ось так:

4х - 3 = 0

Спокійно вирішити його, як вчили, і отримати відповідь:

х = 0,75

Головне, наприкінці, при записі остаточної відповіді, не забути, що ми знайшли ікс, який дає рівність.А нам потрібно – нерівність.Отже, цей ікс нам якраз і не потрібний.) І треба записати його з правильним значком:

х ≠ 0,75

За такого підходу виходить менше помилок. У тих, хто рівняння на автоматі вирішує. А тим, хто рівняння не вирішує, нерівності, власне, ні до чого...)

3. Визначити найменше ціле рішення нерівності:

3(х - 1) < 5х + 9

Спочатку просто вирішуємо нерівність. Розкриваємо дужки, переносимо, наводимо подібні... Отримуємо:

х > - 6

Не так вийшло! А за знаками стежили! І за знаками членів, і за знаком нерівності...

Знову міркуємо. Нам потрібно знайти конкретне число, яке підходить і під відповідь, і під умову "найменше ціле".Якщо відразу не осяяє, можна просто взяти будь-яке число і прикинути. Два більше мінус шести? Звичайно! А чи є відповідне число менше? Зрозуміло. Наприклад, нуль більше -6. А ще менше? А нам найменше з можливих треба! Мінус три більше мінус шести! Вже можна вловити закономірність і перестати тупо перебирати числа, правда?

Беремо число ближче до -6. Наприклад, -5. Відповідь виконується, -5 > - 6. Чи можна знайти ще число, менше -5, але більше -6? Можна, наприклад, -5,5... Стоп! Нам сказано цілеРішення! Чи не котить -5,5! А мінус шість? Е-е-е! Нерівність суворе, мінус 6 не менше мінус 6!

Отже, правильна відповідь: -5.

Сподіваюся, із вибором значення із загального рішення все зрозуміло. Ще приклад:

4. Вирішити нерівність:

7 < 3х+1 < 13

ВО як! Такий вираз називається потрійною нерівністю.Строго кажучи, це скорочений запис системи нерівностей. Але вирішувати такі потрійні нерівності все одно доводиться у деяких завданнях... Вона вирішується без жодних систем. По тим самим тотожним перетворенням.

Потрібно спростити, довести цю нерівність до чистого ікса. Але... Що куди переносити? Ось тут саме час згадати, що перенесення вліво-вправо, це скорочена формапершого тотожного перетворення.

А повна форма звучить ось як: До обох частин рівняння (нерівності) можна додати/відібрати будь-яке число, або вираз.

Тут три частини. От і будемо застосовувати тотожні перетворення до всіх трьох частин!

Отже, позбавимося одиниці в середній частині нерівності. Віднімемо від усієї середньої частини одиничку. Щоб нерівність не змінилася, віднімемо одиницю і від двох частин, що залишилися. Ось так:

7 -1< 3х+1-1 < 13-1

6 < 3х < 12

Вже краще, правда?) Залишилося поділити всі три частини на трійку:

2 < х < 4

От і все. Це відповідь. Ікс може будь-яким числом від двійки (не включаючи) до четвірки (не включаючи). Ця відповідь теж записується через проміжки, такі записи будуть у квадратних нерівностях. Там вони - звичайнісінька справа.

Наприкінці уроку повторю найголовніше. Успіх у вирішенні лінійних нерівностей залежить від уміння перетворювати та спрощувати лінійні рівняння. Якщо при цьому стежити за знаком нерівності,проблем не буде. Чого я вам бажаю. Відсутності проблем.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Нерівністьце вираз с, ≤, або ≥. Наприклад, 3x - 5 Вирішити нерівність означає знайти всі значення змінних, у яких ця нерівність правильна. Кожне з цих чисел є рішенням нерівності, а безліч таких рішень є його безліччю рішень. Нерівності, які мають таку ж безліч рішень, називаються еквівалентними нерівностями.

Лінійні нерівності

Принципи вирішення нерівностей
Для будь-яких дійсних чисел a, b, і c:
Принцип додавання нерівностей: Якщо a Принцип множення для нерівностей: Якщо a 0 вірно, тоді ac Якщо a bc також вірно.
Подібні твердження також застосовуються для a b.

Коли обидві сторони нерівності множаться на негативне число, необхідно повністю змінити знак нерівності.
Нерівності першого рівня, як у прикладі 1 (нижче), називаються лінійними нерівностями.

Приклад 1Вирішіть кожну з таких нерівностей. Потім зобразіть безліч розв'язків.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Рішення
Будь-яке число, менше 11/5, є рішенням.
Безліч рішень є (x|x
Щоб перевірити, ми можемо намалювати графік y 1 = 3x - 5 і y 2 = 6 - 2x. Тоді звідси видно, що для x
Безліч рішень є (x|x ≤ 1), або (-∞, 1) Графік безлічі рішень зображений нижче.

Подвійні нерівності

Коли дві нерівності з'єднані словом і, аботоді формується подвійна нерівність. Подвійна нерівність, як
-3 і 2x + 5 ≤ 7
називається з'єднаним, тому що в ньому використано і. Запис -3 Подвійні нерівності можуть бути вирішені з використанням принципів додавання та множення нерівностей.

Приклад 2Вирішіть -3 РішенняУ нас є

Безліч рішень (x|x ≤ -1 або x > 3). Ми можемо також написати рішення з використанням позначення інтервалу та символ для об'єднанняабо включення обох множин: (-∞ -1] (3, ∞) Графік множини рішень зображений нижче.

Для перевірки намалюємо y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 і y 3 = 1. Зауважте, що для (x|x ≤ -1 або x > 3), y 1 ≤ y 2 або y 1 > y 3 .

Нерівності з абсолютним значенням (модулем)

Нерівності іноді містять модулі. Наступні властивості використовуються їх вирішення.
Для а > 0 та алгебраїчного виразу x:
|х| |х| > a еквівалентно x чи x > a.
Подібні твердження для |x| ≤ a та |x| ≥ a.

Наприклад,
|х| |y| ≥ 1 еквівалентно y ≤ -1 або y ≥ 1;
та |2x + 3| ≤ 4 еквівалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Приклад 4Вирішіть кожну з таких нерівностей. Побудуйте графік множини рішень.
a) | 3x + 2 | b) |5 - 2x| ≥ 1

Рішення
a) | 3x + 2 |