Допомога по Теле2, тарифи, питання

Розкладання квадратних тричленів на множники відноситься до шкільних завдань, з якими рано чи пізно стикається кожен. Як його виконати? Яка формула розкладання квадратного тричленана множники? Розберемося покроково за допомогою прикладів.

Загальна формула

Розкладання квадратних тричленів на множники здійснюється розв'язком квадратного рівняння. Це нескладне завдання, яке можна вирішити кількома методами – знаходженням дискримінанта, за допомогою теореми Вієта, існує і графічний спосіб розв'язання. Перші два способи вивчаються у середній школі.

Загальна формула виглядає так:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Алгоритм виконання завдання

Щоб виконати розкладання квадратних тричленів на множники, потрібно знати теорему Віта, мати під рукою програму на вирішення, вміти знаходити рішення графічно чи шукати коріння рівняння другого ступеня через формулу дискримінанта. Якщо даний квадратний тричлен і його треба розкласти на множники, алгоритм дій такий:

1) Зрівняти вихідний вираз до нуля, щоб отримати рівняння.

2) Навести подібні доданки (якщо є така необхідність).

3) Знайти коріння будь-яким відомим способом. Графічний метод краще застосовувати у разі, якщо наперед відомо, що коріння - цілі та невеликі числа. Потрібно пам'ятати, що кількість коренів дорівнює максимальному ступеню рівняння, тобто квадратного рівняння коренів два.

4) Підставити значення ху вираз (1).

5) Записати розкладання квадратних тричленів на множники.

Приклади

Остаточно зрозуміти, як виконується це завдання, дозволяє практика. Ілюструють розкладання на множники квадратного тричлена приклади:

необхідно розкласти вираз:

Вдамося до нашого алгоритму:

1) х 2 -17х +32 = 0

2) подібні доданки зведені

3) за формулою Вієта знайти коріння для цього прикладу складно, тому краще скористатися виразом для дискримінанта:

D = 289-128 = 161 = (12,69) 2

4) Підставимо знайдене нами коріння в основну формулу для розкладання:

(Х-2,155) * (Х-14,845)

5) Тоді відповідь буде такою:

х 2 -17х +32 = (х-2,155) (х-14,845)

Перевіримо, чи відповідають знайдені дискримінантом рішення формулам Вієта:

14,845 . 2,155=32

Для цих коренів застосовується теорема Вієта, вони знайшли правильно, отже отримане нами розкладання на множники теж правильно.

Аналогічно розкладемо 12х2+7х-6.

х 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337) 1/2

У попередньому випадку рішення були нецілими, але дійсними числами, які легко знайти, маючи перед собою калькулятор. Тепер розглянемо більше складний приклад, в якому коріння буде комплексним: розкласти на множники х 2+4х+9. За формулою Вієта коріння знайти не вийде, і дискримінант негативний. Коріння буде на комплексній площині.

D=-20

Виходячи з цього, отримуємо корені, що нас цікавлять, -4+2i*5 1/2 і -4-2i * 5 1/2, оскільки (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Отримуємо розкладання, підставивши коріння в загальну формулу.

Ще один приклад: потрібно розкласти на множники вираз 23х2-14х+7.

Маємо рівняння 23х2 -14х+7 =0

D=-448

Значить, коріння 14+21,166i та 14-21,166i. Відповідь буде такою:

23х2 -14х+7 = 23 (х- 14-21,166i )*(х- 14+21,166i ).

Наведемо приклад, який можна вирішити без допомоги дискримінанта.

Нехай потрібно розкласти квадратне рівняння х2-32х+255. Очевидно, його можна вирішити і дискримінантом, проте швидше в цьому випадку підібрати коріння.

x 1 = 15

x 2 = 17

Значить х 2 -32х +255 = (Х-15) (Х-17).

Квадратним тричленомназивається многочлен виду ax 2 +bx +c, де x- Змінна, a,b,c- Деякі числа, причому a ≠ 0.

Коефіцієнт аназивають старшим коефіцієнтом, c – вільним членомквадратного тричлена.

Приклади квадратних тричленів:

2 x 2 + 5x + 4(тут a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 – 7x + 5(тут a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x – 9(тут a = 9, b = 9, c = -9)

Коефіцієнт bабо коефіцієнт cабо обидва коефіцієнта одночасно можуть дорівнювати нулю. Наприклад:

5 x 2 + 3x(тутa = 5,b = 3,c = 0, тому значення c у рівнянні відсутнє).

6x 2 – 8 (тутa = 6, b = 0, c = -8)

2x 2(тутa = 2, b = 0, c = 0)

Значення змінної, у якому многочлен звертається у нуль, називають корінням багаточлена.

Щоб знайти коріння квадратного тричленаax 2 + bx + c, Треба прирівняти його до нуля -
тобто вирішити квадратне рівнянняax 2 + bx + c = 0 (див. розділ "Квадратне рівняння").

Розкладання квадратного тричлена на множники

Приклад:

Розкладемо на множники тричленів 2 x 2 + 7x - 4.

Ми бачимо: коефіцієнт а = 2.

Тепер знайдемо коріння тричлену. Для цього прирівняємо його до нуля і розв'яжемо рівняння

2x 2 + 7x - 4 = 0.

Як вирішується таке рівняння – див. розділ «Формули коренів квадратного рівняння. Дискримінант». Тут ми відразу назвемо результат обчислень. Наш тричлен має два корені:

x 1 = 1/2, x 2 = -4.

Підставимо в нашу формулу значення коріння, винісши за дужки значення коефіцієнта а, і отримаємо:

2x 2 + 7x - 4 = 2 (x - 1/2) (x + 4).

Отриманий результат можна записати інакше, помноживши коефіцієнт 2 на двочлен x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

Завдання вирішене: тричлен розкладений на множники.

Таке розкладання можна отримати для будь-якого квадратного тричлена, що має коріння.

УВАГА!

Якщо дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю, цей тричлен має один корінь, але при розкладанні тричлена цей корінь приймають як значення двох коренів - тобто як однакове значення x 1 іx 2 .

Наприклад, тричлен має один корінь, що дорівнює 3. Тоді x 1 = 3, x 2 = 3.

Світ занурений у величезну кількість чисел. Будь-які обчислення відбуваються з допомогою.

Люди вчать цифри для того, щоб у подальшому житті не потрапляти на обман. Необхідно приділяти багато часу, щоб бути освіченим і розрахувати власний бюджет.

Математика – це точна наука, яка грає велику роль у житті. У школі діти вивчають цифри, а потім дії над ними.

Дії над числами бувають абсолютно різними: множення, розкладання, додавання та інші. Крім простих формул, у вивченні математики використовують і складніші дії. Існує безліч формул, якими дізнаються будь-які значення.

У школі, як тільки з'являється алгебра, до життя школяра додаються формули спрощення. Бувають рівняння, коли невідомі числа два, але знайти простим способом не вийде. Тричлен - з'єднання трьох одночленів, за допомогою простого методузабирання та додавання. Тричлен вирішується за допомогою теореми Вієта та дискримінанта.

Формула розкладання квадратного тричлена на множники

Існують два правильні та прості рішення прикладу:

• дискримінант;
• теорема Вієта.

Квадратний тричлен має невідомий у квадраті, а також число без квадрата. Перший варіант для розв'язання задачі використовує формулу Вієта. Це проста формула якщо цифри, що стоять перед невідомим, будуть мінімальним значенням.

Для інших рівнянь, де число стоїть перед невідомим, рівняння потрібно вирішувати через дискримінант. Це складніше рішення, але використовують дискримінант набагато частіше, ніж теорему Вієта.

Спочатку, знаходження всіх змінних рівняння необхідно звести приклад до 0. Рішення прикладу можна буде перевірити і дізнатися чи правильно підлаштовані числа.

Дискримінант

1. Необхідно прирівняти рівняння до 0.

2. Кожне число перед х буде названо числами a, b, c. Так як перед першим квадратним х немає числа, воно прирівнюється до 1.

3. Тепер рішення рівняння починається через дискримінант:

4. Тепер знайшли дискримінант та знаходимо два х. Різниця полягає в тому, що в одному випадку перед b стоятиме плюс, а в іншому мінус:

5. За рішенням два числа вийшло -2 та -1. Підставляємо під початкове рівняння:

6. У цьому прикладі вийшло два правильних варіантів. Якщо обидва рішення підходять, кожне з них є істинним.

Через дискримінант вирішують і складніші рівняння. Але якщо саме значення дискримінанта буде менше 0, приклад неправильний. Дискримінант під час пошуку завжди під коренем, а негативне значення неспроможна перебувати у корені.

Теорема Вієта

Застосовується для вирішення легких завдань, де перед першим не стоїть число, тобто a = 1. Якщо варіант збігається, то розрахунок проводять через теорему Вієта.

Для вирішення будь-якого тричленунеобхідно звести рівняння до 0. Перші кроки у дискримінанта та теореми Вієта не відрізняються.

2. Тепер між двома способами починаються відмінності. Теорема Вієта використовує не лише «сухий» розрахунок, а й логіку та інтуїцію. Кожне число має власну букву a, b, c. Теорема використовує суму та добуток двох чисел.

Запам'ятайте! Число b завжди при додаванні стоїть з протилежним знаком, а число залишається незмінним!

Підставляючи значення дані у прикладі , отримуємо:

3. Методом логіки підставляємо найбільш відповідні цифри. Розглянемо всі варіанти розв'язання:

1. Цифри 1 та 2. При додаванні отримуємо 3, але якщо помножити, то не вийде 4. Не підходить.
2. Значення 2 та -2. При множенні буде -4 але при додаванні виходить 0. Не підходить.
3. Цифри 4 та -1. Оскільки у множенні стоїть негативне значення, отже, одне з чисел буде з мінусом. При додаванні та множенні підходить. Правильний варіант.

4. Залишається тільки перевірити, розкладаючи числа, і переглянути правильність підібраного варіанта.

5. Завдяки онлайн-перевірці ми дізналися, що -1 не підходить за умовою прикладу, а отже, є неправильним рішенням.

При додаванні негативного значення прикладі, необхідно цифру заносити в дужки.

У математиці завжди будуть прості завдання та складні. Сама наука включає різноманітність завдань, теорем і формул. Якщо розуміти і правильно застосовувати знання, то будь-які складнощі з обчисленнями будуть дрібними.

Математика не потребує постійного запам'ятовування. Потрібно навчиться розуміти рішення та вивчити кілька формул. Поступово, за логічними висновками, можна вирішувати схожі завдання, рівняння. Така наука може з першого погляду здатися дуже важкою, але якщо поринуть у світ чисел і завдань, то погляд різко зміниться на краще.

Технічні спеціальностізавжди залишаються найбільш затребуваними у світі. Зараз, у світі сучасних технологій, математика стала незамінним атрибутом будь-якої галузі. Потрібно завжди пам'ятати про корисні властивостіматематики.

Розкладання тричлену за допомогою дужки

Окрім рішення звичними способами, існує ще один – розкладання на дужки. Використовують із застосуванням формули Вієта.

1. Прирівнюємо рівняння до 0.

ax 2 + bx + c= 0

2. Коріння рівняння залишаються такими ж, але замість нуля тепер використовують формули розкладання на дужки.

ax 2 + bx + c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Рішення х=-1, х=3

У нього – квадрат, а складається з трьох доданків (). Ось і виходить – квадратний тричлен.

Приклади неквадратних тричленів:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - кубічний чотиричлен
\(2x+1\) - лінійний двочлен

Корінь квадратного тричлена:

Приклад:
У тричлена \(x^2-2x+1\) корінь \(1\), тому що \(1^2-2·1+1=0\)
У тричлена \(x^2+2x-3\) коріння \(1\) і \(-3\), тому що \(1^2+2-3=0\) і \((-3)^ 2-6-3 = 9-9 = 0 \)

Наприклад:якщо потрібно знайти коріння для квадратного тричлена \(x^2-2x+1\), прирівняємо його до нуля і розв'яжемо рівняння \(x^2-2x+1=0\).

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

Готово. Корінь дорівнює \(1\).

Розкладання квадратного тричлена на:

Квадратний тричлен \(ax^2+bx+c\) можна розкласти як \(a(x-x_1)(x-x_2)\), якщо рівняння \(ax^2+bx+c=0\) більше за нуль \ (x_1\) і (x_2\) - коріння того ж рівняння).

Наприклад, Розглянемо тричлен (3x^2+13x-10\).
У квадратного рівняння \(3x^2+13x-10=0\) дискримінант дорівнює 289 (більше за нуль), а коріння дорівнює \(-5\) і \(\frac(2)(3)\). Тому (3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). У вірності цього твердження легко переконається - якщо ми отримаємо вихідний тричлен.

Квадратний тричлен \(ax^2+bx+c\) можна подати як \(a(x-x_1)^2\), якщо дискримінант рівняння \(ax^2+bx+c=0\) дорівнює нулю.

Наприклад, Розглянемо тричлен (x^2+6x+9\).
У квадратного рівняння \(x^2+6x+9=0\) дискримінант дорівнює \(0\), а єдиний корінь дорівнює \(-3\). Значить, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (тут коефіцієнт (a=1\), тому перед дужкою не пишеться - немає чого). Зверніть увагу, що саме перетворення можна зробити і по .

Квадратний тричлен \(ax^2+bx+c\) не розкладається на множники, якщо дискримінант рівняння \(ax^2+bx+c=0\) менший за нуль.

Наприклад, у тричленів \(x^2+x+4\) та \(-5x^2+2x-1\) – дискримінант менше нуля. Тому розкласти їх на множники неможливо.

приклад . Розкладіть на множники (2x^2-11x+12\).
Рішення :
Знайдемо коріння квадратного рівняння (2x^2-11x+12=0)

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

Отже, \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Відповідь : \(2(x-1,5)(x-4)\)

Отриману відповідь, можливо, записати інакше: \((2x-3)(x-4)\).

приклад . (Завдання з ОДЕ)Квадратний тричлен розкладений на множники \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Знайдіть (a).
Рішення:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Відповідь : \(-1,6\)

На цьому уроці ми з вами навчимося розкладати квадратні тричлени на лінійні множники. Для цього необхідно згадати теорему Вієта та зворотну їй. Дане вміння допоможе нам швидко та зручно розкладати квадратні тричлени на лінійні множники, а також спростить скорочення дробів, що складаються з виразів.

Отже повернемося до квадратного рівняння, де.

Те, що стоїть у нас у лівій частині, називається квадратним тричленом.

Справедлива теорема:Якщо - коріння квадратного тричлена, то справедливо тотожність

Де – старший коефіцієнт, – коріння рівняння.

Отже, маємо квадратне рівняння - квадратний тричлен, де коріння квадратного рівняння також називаються корінням квадратного тричлена. Тому якщо ми маємо коріння квадратного тричлена, цей тричлен розкладається на лінійні множники.

Доведення:

Доказ цього факту виконується за допомогою теореми Вієта, розглянутої нами на попередніх уроках.

Згадаймо, про що говорить нам теорема Вієта:

Якщо - коріння квадратного тричлена, у якого , то .

З цієї теореми випливає таке твердження, що .

Ми бачимо, що, за теоремою Вієта, тобто підставивши дані значення у формулу вище, ми отримуємо наступний вираз

що й потрібно було довести.

Згадаймо, що ми довели теорему, що якщо коріння квадратного тричлена, то справедливе розкладання.

Тепер давайте згадаємо приклад квадратного рівняння, до якого за допомогою теореми Вієта ми підбирали коріння. З цього факту ми можемо отримати таку рівність завдяки доведеній теоремі:

Тепер перевіримо правильність цього факту простим розкриттям дужок:

Бачимо, що на множники ми розклали правильно, і будь-який тричлен, якщо він має коріння, може бути розкладений за цією теоремою на лінійні множники за формулою

Однак давайте перевіримо, чи для будь-якого рівняння можливе таке розкладання на множники:

Візьмемо, наприклад, рівняння. Для початку перевіримо знак дискримінанта

А ми пам'ятаємо, що для виконання вивченої нами теореми D має бути більше 0, тому в даному випадку розкладання на множники з вивченої теореми неможливе.

Тому сформулюємо нову теорему: якщо квадратний тричлен немає коренів, його не можна розкласти на лінійні множники.

Отже, ми розглянули теорему Вієта, можливість розкладання квадратного тричлену на лінійні множники, і тепер вирішимо кілька завдань.

Завдання №1

У цій групі ми за фактом вирішуватимемо завдання, зворотне до поставленої. Ми мали рівняння, і ми знаходили його коріння, розкладаючи на множники. Тут ми діятимемо навпаки. Припустимо, у нас є коріння квадратного рівняння

Зворотне завдання таке: складіть квадратне рівняння, щоб було його корінням.

Для вирішення цього завдання існує 2 способи.

Оскільки - коріння рівняння, то - Це квадратне рівняння, корінням якого є задані числа. Тепер розкриємо дужки та перевіримо:

Це був перший спосіб, за яким ми створили квадратне рівняння із заданим корінням, в якому немає будь-якого іншого коріння, оскільки будь-яке квадратне рівняння має не більше двох коренів.

Цей спосіб передбачає використання зворотної теореми Вієта.

Якщо - коріння рівняння, всі вони задовольняють умові, що .

Для наведеного квадратного рівняння , , т. е. у разі , а .

Таким чином, ми створили квадратне рівняння, яке має задане коріння.

Завдання №2

Необхідно скоротити дріб.

Ми маємо тричлен у чисельнику та тричлен у знаменнику, причому тричлени можуть як розкладатися, так і не розкладатися на множники. Якщо ж і чисельник, і знаменник розкладаються на множники, серед них можуть виявитися рівні множники, які можна скоротити.

Насамперед необхідно розкласти на множники чисельник.

Спочатку необхідно перевірити, чи можна розкласти це рівняння на множники, знайдемо дискримінант. Оскільки , то знак залежить від твору (має бути менше 0), у цьому прикладі , тобто задане рівняння має коріння.

Для вирішення використовуємо теорему Вієта:

В даному випадку, оскільки ми маємо справу з корінням, просто підібрати коріння буде досить складно. Але бачимо, що коефіцієнти врівноважені, т. е. якщо припустити, що , і підставити це значення рівняння, виходить така система: , т. е. 5-5=0. Таким чином, ми підібрали один із коренів даного квадратного рівняння.

Другий корінь ми будемо шукати шляхом підставки вже відомого у систему рівнянь, наприклад, , тобто. .

Таким чином, ми знайшли обидва корені квадратного рівняння і можемо підставити їх значення у вихідне рівняння, щоб розкласти його на множники:

Згадаймо початкове завдання, нам необхідно було скоротити дріб.

Спробуємо вирішити поставлене завдання, підставивши замість чисельника .

Слід забути, що у своїй знаменник неспроможна дорівнювати 0, т. е. , .

Якщо ці умови будуть виконуватися, ми скоротили вихідний дріб до виду .

Завдання №3 (завдання з параметром)

При яких значеннях параметра сума коренів квадратного рівняння

Якщо коріння цього рівняння існує, то , питання: коли .