Сума кутів трикутника. Теорема про суму кутів трикутника. Теорема про суму кутів трикутника Сума кутів дорівнює 180 градусів

Попередні відомості

Спочатку розглянемо безпосередньо поняття трикутника.

Визначення 1

Трикутником називатимемо геометричну фігуру, яка складена з трьох точок, з'єднаних між собою відрізками (рис. 1).

Визначення 2

Крапки в рамках визначення 1 називатимемо вершинами трикутника.

Визначення 3

Відрізки у межах визначення 1 називатимемо сторонами трикутника.

Очевидно, що будь-який трикутник матиме 3 вершини, а також три сторони.

Теорема про суму кутів у трикутнику

Введемо та доведемо одну з основних теорем, пов'язану з трикутниками, а саме теорему про суму кутів у трикутнику.

Теорема 1

Сума кутів у будь-якому довільному трикутнику дорівнює $180^\circ$.

Доведення.

Розглянемо трикутник $EGF$. Доведемо, що сума кутів у цьому трикутнику дорівнює $180^\circ$. Зробимо додаткову побудову: проведемо пряму $XY||EG$ (рис. 2)

Так як прямі $XY$ і $EG$ паралельні, то $∠E=∠XFE$ як навхрест що лежать при січній $FE$, а $∠G=∠YFG$ як навхрест що лежать при січній $FG$

Кут $XFY$ буде розгорнутим, отже, дорівнює $180^\circ$.

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$

Отже

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

Теорему доведено.

Теорема про зовнішній кут трикутника

Ще однією теоремою про суму кутів для трикутника можна вважати теорему про зовнішній кут. Спочатку введемо це поняття.

Визначення 4

Зовнішнім кутом трикутника називатимемо такий кут, який буде суміжним з будь-яким кутом трикутника (рис. 3).

Розглянемо тепер безпосередньо теорему.

Теорема 2

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, які є суміжним йому.

Доведення.

Розглянемо довільний трикутник $EFG$. Нехай має зовнішній кут трикутника $FGQ$ (рис. 3).

По теоремі 1 матимемо, що $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, отже,

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

Оскільки кут $FGQ$ зовнішній, він зміжний з кутом $∠G$, тоді

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

Теорему доведено.

Приклад завдань

Приклад 1

Знайти усі кути трикутника, якщо він є рівностороннім.

Так як у рівностороннього трикутника всі сторони рівні, то матимемо, що всі кути в ньому також рівні між собою. Позначимо їх градусні заходи через $?$.

Тоді, за теоремою 1 будемо отримувати

$α+α+α=180^\circ$

Відповідь: всі кути дорівнюють $60^\circ$.

Приклад 2

Знайти всі кути рівнобедреного трикутника, якщо його кут дорівнює $100^\circ$.

Введемо такі позначення кутів у рівнобедреному трикутнику:

Оскільки нам не дано за умови, який саме кут дорівнює $100^\circ$, то можливі два випадки:

Кут, що дорівнює $100^\circ$ - кут на основі трикутника.

По теоремі про кути при основі рівнобедреного трикутника отримаємо

$∠2=∠3=100^\circ$

Але тоді їх сума буде більше, ніж $180^\circ$, що суперечить умові теореми 1. Отже, цей випадок немає місця.

Кут, що дорівнює $100^\circ$ - кут між рівними сторонами, тобто

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здавання Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин та без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 з Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості та легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Цілі і завдання:

Освітні:

повторити та узагальнити знання про трикутник;
довести теорему про суму кутів трикутника;
практично переконатися у правильності формулювання теореми;
навчитися застосовувати отримані знання під час вирішення завдань.

Розвиваючі:

розвивати геометричне мислення, інтерес до предмета, пізнавальну та творчу діяльність учнів, математичну мову, уміння самостійно здобувати знання.

Виховні:

розвивати особисті якості учнів, таких як цілеспрямованість, наполегливість, акуратність, вміння працювати в колективі.

Обладнання:мультимедійний проектор, трикутники з кольорового паперу, УМК "Жива математика", комп'ютер, екран.

Підготовчий етап:вчитель дає завдання учню підготувати історичну довідку про теорему «Сума кутів трикутника».

Тип уроку: вивчення нового матеріалу

Хід уроку

I. Організаційний момент

Вітання. Психологічний настрій учнів працювати.

ІІ. Розминка

З геометричною фігурою"трикутник" ми познайомилися на попередніх уроках. Давайте повторимо, що нам відомо про трикутник?

Учні працюють у групах. Їм надано можливість спілкуватися один з одним, кожному самостійно будувати процес пізнання.

Що вийшло? Кожна група висловлює пропозиції, вчитель записує їх у дошці. Проводиться обговорення результатів:

Малюнок 1

ІІІ. Формулюємо завдання уроку

Отже, про трикутник ми знаємо вже досить багато. Але не всі. У кожного з вас на парті є трикутники та транспортири. Як ви вважаєте, яке завдання ми можемо сформулювати?

Учні формулюють завдання уроку – знайти суму кутів трикутника.

IV. Пояснення нового матеріалу

Практична частина(Сприяє актуалізації знань та навичок самопізнання). Проведіть вимірювання кутів за допомогою транспортира та знайдіть їх суму. Результати запишіть у зошит (заслухати отримані відповіді). З'ясовуємо, що сума кутів у всіх вийшла різна (так може вийти, тому що неточно доклали транспортир, недбало виконали підрахунок тощо).

Виконайте перегинання по пунктирних лініях і дізнайтеся, чому дорівнює сума кутів трикутника:

а)
Малюнок 2

б)
Малюнок 3

в)
Малюнок 4

г)
Малюнок 5

д)
Малюнок 6

Після виконання практичної роботи учні формулюють відповідь: Сума кутів трикутника дорівнює градусній мірі розгорнутого кута, тобто 180°.

Вчитель: У математиці практична роботадає можливість лише зробити якесь твердження, та його треба довести. Твердження, справедливість якого встановлюється шляхом доказу, називається теоремою. Яку теорему ми можемо сформулювати та довести?

Учні: Сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів.

Історична довідка:Властивість суми кутів трикутника було встановлено ще Стародавньому Єгипті. Доказ, викладений у сучасних підручниках, міститься у коментарях Прокла до «Початків» Евкліда. Прокл стверджує, що цей доказ (рис. 8) було відкрито ще піфагорійцями (5 в. До н. Е..). У першій книзі «Початок» Евклід викладає інший доказ теореми про суму кутів трикутника, який легко зрозуміти за допомогою креслення (рис. 7):

Малюнок 7

Малюнок 8

Креслення висвітлюються на екрані через проектор.

Вчитель пропонує за допомогою креслень довести теорему.

Потім доказ проводиться із застосуванням УМК «Жива математика». Вчитель на комп'ютері проектує підтвердження теореми.

Теорема про суму кутів трикутника: «Сума кутів трикутника дорівнює 180 °»

Малюнок 9

Доведення:

а)

Малюнок 10

б)

Малюнок 11

в)

Малюнок 12

Учні в зошиті робить короткий запис доказу теореми:

Теорема:Сума кутів трикутника дорівнює 180 °.

Малюнок 13

Дано:Δ АВС

Довести:А + В + С = 180 °.

Доведення:

Що потрібно довести.

V. Фіз. хвилинка.

VI. Пояснення нового матеріалу (продовження)

Наслідок з теореми про суму кутів трикутника виводиться учнями самостійно, це сприяє розвитку вміння формулювати власну точку зору, висловлювати та аргументувати її:

У будь-якому трикутнику або всі кути гострі, або два гострі кути, а третій тупий або прямий.

Якщо у трикутнику всі кути гострі, він називається гострокутним.

Якщо один із кутів трикутника тупий, то він називається тупокутним.

Якщо один із кутів трикутника прямий, то він називається прямокутним.

Теорема про суму кутів трикутника дозволяє класифікувати трикутники не тільки по сторонах, а й по кутах. (Під час введення видів трикутників учнями заповнюється таблиця)

Таблиця 1

Вигляд трикутника	Рівностегновий	Рівносторонній	Різносторонній
Прямокутний
Тупокутний
Острокутний

VII. Закріплення вивченого матеріалу.

Розв'язати завдання усно:

(Креслення висвітлюються на екрані через проектор)

Завдання 1. Знайдіть кут С.

Малюнок 14

Завдання 2. Знайдіть кут F.

Малюнок 15

Завдання 3. Знайдіть кути К та N.

Малюнок 16

Завдання 4. Знайдіть кути P та T.

Малюнок 17

Розв'язати завдання самостійно №223 (б, г).
Вирішити завдання на дошці та у зошитах уч-ся №224.
Питання: Чи може трикутник мати: а) два прямі кути; б) два тупі кути; в) один прямий та один тупий кут.
(виконується усно) На картках, що є на кожному столі, зображені різні трикутники. Визначте на очі вигляд кожного трикутника.

Малюнок 18

Знайдіть суму кутів 1, 2 та 3.

Малюнок 19

VIII. Підсумок уроку.

Вчитель: Що ми дізналися? Чи для будь-якого трикутника застосовна теорема?

IX. Рефлексія.

Передайте мені свій настрій, хлопці! Зі зворотного боку трикутника зобразіть свою міміку.

Малюнок 20

Домашнє завдання:п.30 (1 частина), питання 1 гол. IV стор. 89 підручника; №223 (а, в), №225.

Навздогін до вчорашнього:

Граємо з мозаїкою під казку з геометрії:

Жили-були трикутники. Такі схожі, що просто копія одне одного.
Стали вони якось поряд на пряму лінію. А тому що були вони всі одного зросту -
то й верхівки їх були на одному рівні, під лінійку:

Трикутники любили перекидатися і стояти на голові. Вилізли у верхній ряд і стали на куточок, мов акробати.
А ми вже знаємо – коли вони стоять верхівками рівно в лінію,
то й підошви у них теж по лінійці - бо якщо хтось одного зросту, то він і верх ногами одного зросту!

У всьому вони були однакові - і висота однакова, і підошви один в один,
і гірки по сторонах - одна крутіша, інша більш полога - по довжині однакові
і нахил у них однаковий. Ну просто близнюки! (тільки у різних одягах, у кожного свій шматочок пазла).

- Де трикутники мають однакові сторони? А де куточки однакові?

Постояли трикутники на голові, постояли, та й вирішили зісковзнути та лягти в нижньому ряду.
Заковзнули і з'їхали як із гірки; а гірки в них однакові!
Ось і помістилися якраз між нижніми трикутниками, без проміжків і ніхто нікого не потіснив.

Озирнулися трикутники та помітили цікаву особливість.
Скрізь, де їхні кути разом зійшлися - неодмінно зустрілися всі три кути:
найбільший - "кут-голова", найгостріший кут і третій, середній за величиною кут.
Вони навіть стрічки кольорові пов'язали, щоб відразу було помітно, де який.

І вийшло, що три кути трикутника, якщо їх поєднати -
становлять один великий кут, "кут навстіж" - як обкладинка розкритої книги,

______________________про ___________________

він так і називається: розгорнутий кут.

У будь-якого трикутника – ніби паспорт: три кути разом рівні розгорнутому кутку.
Постукає до вас хтось: - тук-тук, я трикутник, пустіть мене переночувати!
А ви йому - Пред'яви-но суму кутів у розгорнутому вигляді!
І відразу зрозуміло - чи це справжній трикутник чи самозванець.
Не пройшов перевірку - Розвертайся на сто вісімдесят градусів і йди геть!

Коли кажуть "повернути на 180° - це означає розвернутися задом наперед і
йти у зворотному напрямку.

Те саме в більш звичних виразах, без "жили були":

Зробимо паралельне перенесення трикутника АВС вздовж осі ОХ
на вектор АВрівний довжині основи АВ.
Пряма, DF, що проходить через вершини С і С 1 трикутників
паралельна осі ОХ, тому що перпендикулярні осі ОХ
відрізки h та h 1 (висоти рівних трикутників) рівні.
Таким чином основа трикутника А 2 В 2 С 2 паралельно основі АВ
і дорівнює йому по довжині (т.к. вершина З 1 зміщена щодо З на величину АВ).
Трикутники А 2 В 2 З 2 і АВС дорівнюють по трьох сторонах.
А отже кути ∠А 1 ∠В ∠С 2 , що утворюють розгорнутий кут, дорівнюють кутам трикутника АВС.
=> Сума кутів трикутника дорівнює 180 °

З рухами - "трансляціями" так званими доказ коротше і наочніше,
на шматочках мозаїки навіть малюкові може бути зрозумілим.

Натомість традиційне шкільне:

що спирається на рівність внутрішніх накрест-лежачих кутів, що відсікаються на паралельних прямих

цінно тим, що дає уявлення про те - чому це так,
чомусума кутів трикутника дорівнює розгорнутому куту?

Тому що інакше паралельні прямі не мали б звичних нашого світу властивостей.

Теореми працюють в обидві сторони. З аксіоми про паралельні прямі сліди
рівність навхрест лежачих і вертикальних кутів, та їх - сума кутів трикутника.

Але вірно і зворотне: поки кути трикутника становлять 180 ° - існують паралельні прямі
(Такі, що через точку не лежить на прямій можна провести єдину пряму | | даної).
Якщо одного разу у світі з'явиться трикутник, у якого сума кутів не дорівнює розгорнутому кутку.
то паралельні перестануть бути паралельними, весь світ викривиться і перекособочиться.

Якщо смуги з орнаментом із трикутників розташувати один над одним -
можна покрити все поле повторюваним візерунком, ніби підлога плиткою:

можна обводити на такій сітці різні фігури - шестикутники, ромби,
зіркові багатокутники і отримувати різні паркети

Замощення площини паркетами - не тільки цікава гра, але й актуальне математичне завдання:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Оскільки кожен чотирикутник - прямокутник, квадрат, ромб та ін.
може бути складений із двох трикутників,
відповідно сума кутів чотирикутника: 180 ° + 180 ° = 360 °

Однакові рівнобедрені трикутники складаються в квадрати різними способами.
Маленький квадратик із 2-х частин. Середній із 4-х. І найбільший із 8-ми.
Скільки на кресленні фігур, що складаються з 6 трикутників?